函數娘

$\displaystyle A,B$都是集合，$f\subseteq A\times B$滿足

$(\forall a\in A)(\exists! b)\{(b \in B)\wedge[(a,b)\in f]\}$

稱$\displaystyle f$為從$\displaystyle A$映射到$\displaystyle B$的函數(function)，以符號$f:A \rightarrow B $表示。

其中$\displaystyle A$被稱為定義域(domain)，$\displaystyle B$被稱為對應域(codomain)。

Would you like to know more?還不快自己去查一階邏輯和公理化集合論

初等函數

初等函數是由基本運算 (例如, 加減乘除、指數、對數) 構成的函數，函數娘從小就會初等函數.

代數函數

1. 代數函數: 能夠表示為多項式方程的函數

• 多項式: 為多個單項式之和，能夠表示為變量的加減和乘，也就是

$\displaystyle y=\sum_{i=0}^{n}a_k x^k$

線性函數: 一次多項式, 圖像為直線

$y=ax+b$

二次函數: 二次多項式, 圖像為拋物線

$y=ax^2+bx+c$

以$x$非零項的最高次方命名為$n$次函數，以此類推。零次函數特稱為常數函數。

1. 有理函數: 兩個多項式函數的比，也就是如果有兩個多項式$P(x)$、$Q(x)$，且

$A = \{x\in\mathbb{R}\,|\,Q(x)\neq 0\}$

則有理函數$f:A\to\mathbb{R}$的形式為

$\displaystyle f(x)=\frac{P(x)}{Q(x)}$

若$P(x)$為常數函數，$f$特稱為分式函數。

1. 開方

$\displaystyle y=x^{\frac{1}{n}}$

一般簡寫為$\displaystyle y = \sqrt[n]{x}$，最普通的就是$n=2$，也就是平方根($y = \sqrt{x}$)

基本超越函數

非代數函數即為超越函數.

1. 指數函數: $y=a^x$(a為非1正數) 當0<a<1時遞減，a>1時遞增
2. 雙曲函數: 形式上相似於三角函數.
3. 對數: $y=\log_ax$(a為非1正數)為以a為底對數，指數函數的反函數; 用於求解指數方程.

自然對數$y=\ln x$為以e為底對數

常用對數$y=\lg x$為以10為底對數

二進對數$y=\log_2x$為以2為底對數

不定對數

1. 冪函數:$y=x^k$

1. 週期函數

三角函數: 正弦, 餘弦, 正切等.; 主要用於幾何學和描述週期現象. 參閱古德曼函數.

鋸齒波

方波函數

三角波

特殊函數

1. 基本特殊函數

• 指示函數：

$1_{A}(x) = \begin{cases}\begin{matrix} 1 & (x\in A) \\ 0 & (x \not\in A) \end{matrix}\end{cases}$

若以$\mathbb{Q}$表示有理數系，$1_{\mathbb{Q}}(x)$特稱為狄利克雷函數。

• 階梯函數.

取整函數:

$[x]=\max \,\{n\in \mathbb {Z} \mid n\leq x\}$

單位階躍函數:

$H(t) = \begin{cases}\begin{matrix} 0 & (t<0) \\ 1 & (t\geq 0) \end{matrix}\end{cases}$

符號函數:

$\text{sgn}(t) = \begin{cases}\begin{matrix} 1 & (t>0) \\ 0 & (t=0) \\ -1 & (t<0)\end{matrix}\end{cases}$

• 絕對值函數: 為某點到原點的距離.\
• 狄拉克泛函(俗稱的狄拉克函數):

$C^{\infty}(\mathbb{R})$代表所有定義域在$\mathbb{R}$，但

$\operatorname{supp} f=\{r\in \mathbb{R}\,|\,f(r)\neq 0\}$

是緊緻的(這個術語的意思留當課後習題)，且可無限微分的實數函數$f$的集合(俗稱定義於$\mathbb{R}$且有緊支持的光滑函數空間)

所謂的狄拉克泛函擎天柱函數，就是$\delta:C^{\infty}(\mathbb{R})\to\mathbb{R}$滿足

$$\delta[f] = f(0)$$